Distância entre dois pontos no Plano Cartesiano

http://www.youtube.com/watch?v=qTWIQjBDs0M

Prof. Fábio Luiz

Vídeo sobre Ponto Médio de um Segmento no Plano

http://www.videolog.tv/video.php?id=299813

Prof. Fábio Luiz

O DRAMA DOS PROFESSORES AMEAÇADOS PELA VIOLÊNCIA NAS ESCOLAS

O que está chamando  a atenção de todos os veículos de comunicação é a violência desacerbada das agressões de aluno contra professor. Considere como agressão qualquer ato que desrespeite o professor no exercício de sua função sejam elas agressões verbais, morais ou físicas.

Em Abril de 2012, a revista Época publica a matéria 'PROFESSOR PROFISSÃO PERIGO - edição 2214 - de 18/04' onde reporta o  inacreditável  crescimento de casos de agressão física e psicólogica a docentes brasileiros nas escolas da rede pública, particular de ensino e nas universidades.

A repórter Rachel Costa  ressalta que o que era para ser uma corriqueira entrega de provas vira um bate-boca intimidador seguido de agressão física. Descontente com a nota, a estudante abriu mão dos argumentos acadêmicos para contestar a correção e avançou sobre a professora Christiane Souza Alves durante a aula.

Professores sem autoridade, alunos com excesso de poder e coordenações escolares omissas formam a bomba-relógio da violência escolar. "As salas de aulas estão mais violentas, pois a própria sociedade também está", afirma a pesquisadora Jussara Paschoalino, autora do livro "Professor Desencantado: Matizes do Trabalho Docente" (Armazém de Ideias, 2009). "As agressões contra o professor surgem de várias partes, mas o maior desgaste que percebo é com relação aos alunos." Essa mesma impressão foi captada por um estudo feito pela International Stress Management Association (Isma-BR). Dos mil professores ouvidos, 46% indicaram como principal fonte de estresse a indisciplina dos estudantes - que muitas vezes ganha eco na omissão dos pais. "Os docentes estão mais vulneráveis à agressão que outras profissões", considera Ana Maria Rossi, presidente do Isma-BR. Basta lembrar que, sozinhos, eles têm de manter sob controle turmas de até 40 pessoas. E o risco independe da idade de quem ocupa a carteira. "Só nos últimos dez dias recebemos três denúncias de ameaças contra professores."

Pouco a pouco, a preocupação invade a pauta dos sindicatos de vários estados. No Rio de Janeiro, depois de iniciar uma campanha incentivando os professores a cuidarem da voz, o órgão de classe percebeu que os distúrbios na fala eram, em grande parte dos casos, apenas reações físicas a problemas bem mais complexos, de cunho emocional. A constatação mudou o eixo do trabalho. "Ampliamos a mobilização para o tema da sáude mental dos professores", diz o presidente do órgão, Wanderley Quedo.

Desvalorizado financeiramente e socialmente, resta ao docente um sentimento de abandono. "O professor tem de se virar na sala de aula para ensinar e para tomar cuidado com o que pode acontecer ali dentro",. diz uma professor de apenas 28 anos. Ele dá aulas de educação física na rede pública, e já teve que sair escoltado do colégio por um policial após ser ameaçado por um aluno. O garoto, depois de ser repreendido pelo professor por causa do comportamento violento durante o treino de basquete, voltou ao colégio acompanhado por uma turma de não alunos para "acerta contas". O professor conseguiu contornar a situação e continuou dando aulas na mesma escola, mas pede para não divulgar sua identidade, por medo de represálias.

Nem todos, porém, superam o susto e seguem na carreira.

Infelizmente, a professora gaúcha Etiene Sebach Silveira, 43 anos, tirou seu time de campo, após 21 anos de magistério, quando descobriu agressões virtuais perpetradas por um grupo de sete estudantes do Colégio Nossa Senhora do Bom Conselho, onde dava aula. "Meu mundo caiu. Nunca tinha tido problema com alunos e nem sabia o que era Orkut quando descobri que elas tinham criado uma comunidade falando mal de mim", relembra ela, que é filha e irmã de professoras. Passado o choque, reclamou no sindicato e na direção da escola. A comunidade saiu do ar em dois dias, mas, para espanto de Etiene, ela recebeu a carta de demissão poucos meses depois e, agora trabalha com vendas. Casos como o dela em que o professor é preterido pela direção da escola, são comuns na rede privada. "Nos colégios particulares, se alguém não gosta de algo, o professor é demitido".

Para tentar mudar as regras do jogo, até agora bem desfavoráveis ao professor, foi proposto um projeto de lei prevendo medidas protetivas para os casos de violência contra docentes (o PL 191 de 2009). "O PL não foi bem aceito pelos congressistas e está encalhado", critica o autor da proposta, o senador Paulo Paim (PT-RS). Situação semelhante acontece na vizinha Argentina. Por lá, a procura pela União dos Docentes Argentinos (UDA) para relatar casos de agressão contra professores cresceu 20% só no último ano. Preocupado, o órgão propôs um projeto de lei, mas, assim como no Brasil, a iniciativa também não foi adiante. "O Poder Executivo e o Congresso Nacional argentinos ainda não reconheceram o problema da violência contra os professores na escola", disse Sérgio Romero, em recente entrevista à revista ISTOÈ, secretário-geral da UDA.

A questão não está restrita aos países em desenvolvimento. Na Inglaterra, pesquisa recém-divulgada pela Associação dos Professores registrou que um terço dos tutores e funcionários de escolas já havia tido contato com violência física dentro das instituições de ensino.

SECOM / CPP
As informações são da revista Época

Escolas em decadência ou alunos desinteressados? Eis a questão!

Essa postagem não possui cunho matemático, é apenas um desabafo de um professor de Matemática com mais de 14 anos de docência na rede pública do Estado de São Paulo.


"Em diversas ocasiões praticamos a leitura de textos bonitos e bem elaborados, onde pensadores pregam uma educação dos sonhos. Nestes textos, em sua maioria quase totalidade, sempre temos alunos maravilhosos e críticos, professores satisfeitos e realizados com a docência. Não há problemas de defasagem de conteúdo por parte dos alunos, todos são atuantes em seu processo educacional e cada um deles sabem muito bem o que fazem na escola. Utopia? Sim, isso é uma utopia total! 
Será que algum desses pensadores estão dentro de uma sala de aula, atuando diariamente com estes "brilhantes alunos" que eles mesmos descrevem em suas (fábulas) perfeitas?
É óbvio que não!!! A realidade é muito diferente disso.
Ao me deparar com tantos problemas que venho enfrentando ao ministrar aulas diariamente, resolvi procurar algo que me desse um norte. Algo que me fizesse querer ter motivos para continuar lecionando, mas sinceramente, há muito tempo não vejo mais um motivo plausível para continuar na docência, exceto pelo fato de ganhar minha vida fazendo isso. Sim, sou um professor! E não sou "qualquer professor"...sei muito bem do meu papel na sociedade, e muito mais ainda dentro de uma sala de aula. Sou competente, atuante perante meus alunos e domino a linguagem da área em que atuo. Pena que não posso dizer isso de todos os colegas de profissão. Isso é fato!
Com base nisso, estava lendo este texto abaixo que fala sobre educação. E é com base nele que expus a minha visão sobre a atual realidade da Educação nas Escolas Públicas do Estado de São Paulo. Não posso escrever com propriedade sobre todas as escolas, mas como trabalho na Rede Estadual e participo do dia-a-dia de uma, creio que tenho propriedade para colocar aqui minha visão atual sobre a concepção de EDUCAÇÃO."

Texto: O relacionamento entre aluno e professor é muito importante na formação do aluno. O professor é aquele que dedica tempo para transmitir a seus alunos o saber, mas não deve ficar restrito somente na ação de ensinar, o ato de ensinar vai muito além do giz e das provas bimestrais.

Prof. Fábio: " Realmente o relacionamento professor-aluno é muito importante no processo ensino-aprendizagem, porém não podemos ficar presos somente a isso para que este processo avance e funcione de maneira eficaz e efetiva. É de extrema importância que os alunos (principais envolvidos no processo) tenham a consciência e a vontade de querer aprender e evoluir. Se o aluno não quiser aprender, não há nada que digamos ou que façamos para que o faça construir conhecimento baseado nas aulas. Muitas vezes, eles estão com seus fones de ouvido "plugados" na orelha por debaixo de suas tocas, de seu capuz ou dos longos cabelos, pensando que estão escondendo assim dos olhos do professor."

Texto: O desenvolvimento escolar do aluno depende em partes da motivação, da atenção e da empatia que o professor tem para com seus alunos. Se o professor é tradicional e fica preso só nas matérias, nos trabalhos e não oferece uma maneira interessante que seja capaz de despertar o interesse desses alunos, consequentemente estes que já vão para a escola como uma obrigação, não irão aprender, e não sentiram vontade de estudar.

Prof. Fábio: "Penso que, o aluno só ira aprender se tiver empatia pelo professor? Desculpe, mas não concordo com tal afirmação. O aluno vai para a escola para aprender, independente de gostar ou não do professor! O professor (pessoa física) não está em sala de aula para ser querido, idolatrado ou adorado por nenhum aluno. Ele está em sala de aula para compartilhar conhecimentos adquiridos com aqueles que estão em processo de formação, e que necessitam de auxílio."

Texto: O professor deve ter didática e saber selecionar e organizar a aula de forma que atraia a atenção dos alunos e consiga com sucesso demonstrar os conteúdos das matérias de forma clara e objetiva. Segundo GADOTTI (1999: 2), o educador para pôr em prática o diálogo, não deve colocar-se na posição de detentor do saber, deve antes, colocar-se na posição de quem não sabe tudo, reconhecendo que mesmo um analfabeto é portador do conhecimento mais importante: o da vida.

Prof. Fábio: "Concordo plenamente que o professor deve ter didática na hora de expor seus conhecimentos para uma classe, porém os alunos dever ter a EDUCAÇÃO para prestar atenção e fazer seus questionamentos no momento oportuno. Estabelecendo dessa forma um contrato educacional, obedecendo regras, estabelecendo normas e objetivos a serem alcançados." 

Texto: A partir do momento em que o aluno se sente capacitado e motivado em sala de aula para refletir e expor suas idéias, o aprendizado é maior, pois o aluno não recebe a matéria pronta, ele é convidado a descobrir junto com o professor a solução de determinados problemas. E o professor quando deixa de assumir a posição de detentor do saber e passa a ouvir e compreender o pensamento de seus alunos, a aula se torna diferente e com a participação de todos. 

Prof. Fábio: "Participação de todos? Quando isso de fato acontece? Muitas vezes os alunos estão mais preocupado em ver  o sms que o amigo enviou, entrar nas redes sociais para ver o que está acontecendo  com a vida do alheio, ou simplesmente colocar seus fones de ouvido  e ouvir a nova música daquele cantor que acabou de ser lançada na mídia. Sim, e o professor ainda deve estimular os alunos a se interessarem pelas aulas e pelos temas discutidos? Desculpe, mas creio que uma aula de Geometria Analítica é muito mais desinteressante do que um jogo de vídeo game, ou do que ouvir uma música, ou do que simplesmente navegar na redes sociais".

Texto: Embora, podemos nos deparar com uma realidade não tão simples assim, quando falamos em aulas mais atrativas e com conteúdos simples, não podemos ignorar que a realidade do aluno não é tão fácil como parece.

Prof. Fábio: " E a realidade do professor? Será que é diferente da realidade do aluno? O que o professor pensa ao preparar uma aula para expor aos seus alunos e quando chega em sala de aula, quando ele quer expor tudo o que preparou o aluno simplesmente não está ligando para o que ele está falando? Seria isso falta de respeito para com o professor? Falta de orientação familiar para com o aluno? Falta de comprometimento do aluno? Ou seria simplesmente reflexo de um sistema educacional falido e arcaico, onde os alunos fingem que aprendem o que o professor ensina? "

Texto: Essa forma de ensino é válida e muito proveitosa, mas infelizmente nossos alunos hoje vêm muitas vezes de uma família desestruturada, sem muita disciplina e organização. Dessa forma, fica difícil para o professor lecionar diante de alunos desinteressados, sem educação e sem apoio familiar e afetivo. Sendo assim, a expectativa do desenvolvimento do aprendizado não evolui e nos deparamos com professores desmotivados, pois não conseguem com sucesso transmitir conhecimento a seus alunos.

Prof. Fábio: "Transmitir com sucesso o conhecimento a seus alunos! Creio que há um grande engano nessa frase, pois os professores não transmitem conhecimento, apenas compartilham informações para que os alunos (se for de seu interesse) adquiram algum conhecimento. Até quando os professores serão penalizados pela falta de comprometimento dos alunos e de seus familiares? Salas super lotadas repleta de alunos com defasagem de conteúdo e conceitos gritantes, muitas vezes semi-letrados ou com grandes problemas de assimilação e concentração. E o professor ainda é culpado por tudo isso? Ou será que o processo de educação atual está deixando estes alunos cada vez mais acomodados e sem perspectivas? 

Para o bom aprendizado deve-se levar em conta não só o professor e o aluno, mas também toda uma sociedade. O aluno se dirige a escola para aprender e junto leva toda uma bagagem de conhecimento adquirida na família, com os amigos, com o meio que ele convive. Para que tudo flua de forma coerente, deve-se trabalhar todas essas relações, é um erro grave ignorar a história do aluno e fingir que ali vai ser diferente. Para mudar essa triste realidade é necessário conhecer o passado e saber onde está o erro, para a partir daí começar um real processo de aprendizado, tudo caminhando em conjunto, não somente professor-aluno e por mais difícil que possa parecer a família deve estar envolvida nesse processo. Só a assim a educação terá progresso.

Prof. Fábio: "Por mais que trabalhemos (todas) essas relações, o professor sempre será penalizado e culpado pelo não aprendizado dos alunos, pela falta de comprometimento dos alunos com a sua própria instrução e educação. Desde que se implantou a tal da "progressão continuada" nas escolas públicas, deu-se início ao fim do sistema de educação. Sim, a educação está em colapso total, e tende a perecer muito antes do que imaginamos. Vemos cada vez mais alunos desinteressados e alienados, sem perspectivas e muito menos críticos do que se espera. Mas parte disso, devemos a falta de acompanhamento familiar. Sim, os pais ou responsáveis incumbiram aos professores a função de EDUCAR, sendo que esta deveria vir de casa. Ter pais conscientes e atuantes na vida escolar do filho, que lhes dê bons modos, princípios éticos, morais e civis.
 A escola se tornou um "depósito" onde muitos pais colocam seus filhos lá e nem procuram saber o que está acontecendo.
Seria isso o reflexo de uma sociedade alienada e de valores deturpados? Ou seria apenas a ânsia do querer sempre TER mais ,do que SER sempre mais! Creio que um dos graves problemas dos alunos de hoje em dia, é que muitos deles não sabem ouvir a palavra NÃO. Estão tão acostumados a ter "recompensas" por suas feitorias (que na realidade deveriam ser feitas por mera obrigação enquanto pessoa, cidadão e aluno) que ao se deparar com um NÃO de um professor, se sentem ofendidos e se acham no direito de reivindicar pelos seus direitos. Mas espere aí, direitos? Por um acaso estes mesmos alunos sabem quais são seus deveres e obrigações?
Creio que não!!! Quisera eu me mudar para Passárgada, onde tudo é maravilhoso, o sistemas de ensino funciona, os alunos são críticos e possuem uma sede infinita por querer saber sempre mais! Mas não, vivo no mundo real...onde possuo alunos cada vez mais alienados, vindo de famílias que pouco se importam com sua vida escolar, e que não estão interessados em participar do processo de aprendizagem. 
E assim caminha essa nova humanidade. Para onde? Desculpe, não tenho todas as ferramentas para poder responder a essa pergunta com exatidão...mas tenho certeza de que estamos rumando para um colapso total da educação brasileira."


TEXTO DE ELAINE APARECIDA DA SILVA
http://www.webartigos.com/artigos/o-processo-de-ensino-e-a-realidade-do-aluno/23574/




Prof. Fábio Luiz

TRABALHO DE CONCLUSÃO BIMESTRAL DO 3 EM - NOTURNO (2o. Bimestre) 2012

Observações: 

1 - Entregar as questões resolvidas até o dia 12/06/2012 (impreterivelmente) diretamente para o professor Fábio Luiz (em mãos), tendo em vista que dia 08/06/2012 (data prevista para entrega do trabalho) será ponto facultativo e dia 07/06/2012 é feriado. Não haverá prorrogação para data de entrega. Este trabalho valerá 2,0 pontos a ser acrescentado na média final do bimestre. 

2 -  Realizar as atividades propostas em folha de almaço.

3 - Deverá constar no topo do trabalho (cabeçalho) os seguintes itens:

3.1 - Nome da Escola

3.2 - Nome do Aluno (a) e Número de chamada

3.3 - Série que cursa

3.4 - Nome do Professor

3.5 - Nota do aluno (a) 

4 - Questões:

Questão 1: Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos:

A (1, -2)
B ( 0, 3)
C ( 3, -2)
D ( -3, 3)
E ( 0, -4)
F ( 4, 4)
G ( -4, 0)
H ( 3, 0)
I ( -1, -5)

Questão 2:  No retângulo da figura, OA = 2a e AP = a. Dê as coordenadas dos vértices do retângulo OAPB.

Questão 3: Um ponto P (a, 2) é equidistante dos pontos A (3, 1) e B (2, 4). Calcular a abscissa do ponto P.

Questão 4: A distância do ponto A (1, a) ao ponto B (0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da ordenada a.

Questão 5: Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A (-1, 2) e B (1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P?

Questão 6: Calcular o comprimento das medianas de um triângulo de vértices A (2, -6), B (-4, 2) e C (0, 4). Em seguida responder as seguintes questões;

a) Construa o triângulo no plano cartesiano ortogonal.

b) Esse triângulo é isósceles, equilátero ou escaleno?

c) Calcule o seu perímetro.

Questão 7: Uma das extremidades de um segmento é o ponto A (-2, -2). Sabendo que M (3, -2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B (x, y), que é a outra extremidade do segmento.

Questão 8: Demonstre que o triângulo de vértices A( -2, 4), B (-5, 1) e C (-6, 5) é isósceles. Construa o triângulo no plano cartesiano ortogonal.

Bom trabalho!!!

Prof. Fábio Luiz

Conversões de Medidas de Ângulos - 2EM

Quando medimos o ângulo de um arco utilizamos como unidade o grau ou o radiano. Temos que 1º (um grau) possui 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) possui 60” (sessenta segundos). Uma circunferência possui 360 arcos de abertura igual a 1º. No caso da medida em radianos, dizemos que o arco mede um radiano (1 rad) se o seu comprimento for igual ao comprimento do raio da circunferência que se encontra o arco medido.

Α tabela a seguir mostra algumas relações entre as unidades em graus e radianos.

Convertendo Graus em Radianos 

Na conversão de graus para radianos utilizamos uma regra de três simples, por exemplo:

20º em radianos:



graus radianos
20º             x
180º           π rad

Convertendo Radianos em Graus

Na conversão de radianos para graus, basta substituirmos o valor de π por 180º. Veja exemplos:



Quaisquer dúvida, entre em contato com o professor.
Prof. Fábio Luiz

Distância entre dois pontos - 3EM

A base da geometria analítica encontra-se na distância entre dois pontos, pois muitos conceitos são inerentes a esse. Portanto, compreender a expressão algébrica para o cálculo da distância entre dois pontos colabora para uma compreensão fidedigna de outros conceitos da geometria analítica.






A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.


Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.


Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano.





Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica.





Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.






Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:





Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.


Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente.


Como vimos anteriormente, basta aplicar a expressão para o cálculo da distância entre dois pontos. Sendo assim:


Geometricamente:



Qualquer dúvida, favor entrar em contato com o professor.
Grato!


Prof. Fábio Luiz

Plano Cartesiano

Plano Cartesiano




Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:





O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.


OBSERVAÇÕES:

• Um ponto P é representado no plano cartesiano pelas coordenadas (xp, yp), onde xp é a abscissa do ponto P e yp é a ordenada.
• Um ponto pertence ao eixo das abscissas quando sua ordenada é nula.
• Um ponto pertence ao eixo das ordenadas quando sua abscissa é nula.

• Bissetriz dos quadrantes ímpares 

A bissetriz dos quadrantes ímpares é determinada por uma reta que intercepta o ponto (0,0) traçando as bissetrizes dos quadrantes I e III. 



O coeficiente angular será igual a m = tg 45° = 1. Um dos seus pontos será (0,0) e todos os outros pontos pertencentes à reta b terão as ordenadas e abscissas iguais, por exemplo, (4,4), (5,5), (6,6), (7,7),... . 


Considerando qualquer um desses pontos e o coeficiente angular igual a 1, podemos concluir que a reta que representa a bissetriz dos quadrantes ímpares terá - de acordo com os conceitos de Geometria Analítica - a equação fundamental: y – y0 = m (x – x0). 
Substituindo o ponto (2,2), temos: 


y – 2 = 1 (x – 2) 
y – 2 = x – 2 
y = x 

• Bissetriz dos quadrantes pares 

A bissetriz dos quadrantes pares é determinada por uma reta que intercepta o ponto (0,0) traçando as bissetrizes dos quadrantes II e IV. 

O coeficiente angular será igual a m = tg 135° = -1. Um dos seus pontos será (0,0) e todos os outros pontos pertencentes à reta b terão os valores das ordenadas opostos aos valores das abscissas, por exemplo, (4,-4), (5,-5), (6,-6), (7,-7),... . 


Considerando qualquer um desses pontos e o coeficiente angular igual a -1, podemos concluir que a reta que representa a bissetriz dos quadrantes pares terá - de acordo com os conceitos de Geometria Analítica - a equação fundamental: y – y0 = m (x – x0). 
y – (–2) = –1 (x – 2) 
y + 2 = –x + 2 
y = – x 

Pensamento do dia!

 " Os sinais de + e - modificam a quantidadade diante da qual são colocados, como o adjetivo modifica o substantivo ". 
AUGUSTIN LOUIS CAUCHY

Racionalização de Denominadores - 2EM - 15/02/2012

A racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional.

Conseguimos isto realizando algumas operações que eliminam o radical do denominador.

Iremos analisar três casos em particular.

1. Denominador é uma Raiz Quadrada

Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com índice igual a dois.

Vamos analisar a seguinte fração:

É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos  por ele mesmo. Vejamos:

Partimos de  e chegamos a 5.

Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois  e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor:

Neste nosso exemplo  é o fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.

Genericamente o fator racionalizante de um denominador  é o próprio .

Exemplos

2. Denominador de uma Raiz Não Quadrada

Agora vamos tratar um caso cujo índice seja diferente de dois, ou seja, um caso onde não temos uma raiz quadrada.

Observe a fração a seguir:

Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:

Perceba que no caso anterior havíamos partido de  e passamos por 5¹, o que nos permitiu chegarmos a 5.

Note que neste caso, porém, partindo-se de  chegamos a  e como 2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.

Então o que precisamos fazer?

Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a  e não a .

Qual fator é este?

É muito simples. Veja o ponto chave abaixo:

Qual é o número que somado a 1 dá 3?

É dois, pois 3 - 1 = 2.

Então o fator racionalizante da fração é , pois:

Logo:

Podemos então concluir que o fator racionalizante de um denominador  é igual a .

Exemplos

3. Quando o denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados

Agora no último caso a ser tratado, veremos como devemos proceder quando no denominador da fração temos uma soma ou diferença de um ou dois radicais com índice igual a 2.

Vejamos a fração abaixo:

Como pode observar, os métodos analisados acima não nos permitem racionalizar este tipo de fração. Para fazê-lo precisamos recorrer a um produto notável, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos.

Mais especificamente, neste produto notável, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Algebricamente temos:

Conseguiu perceber como podemos utilizar este conceito para racionalizarmos a fração proposta?

Parabéns se conseguiu, mas se não conseguiu tudo, daqui a pouco você estará apto a fazê-lo.

Vamos ver o que acontece quando substituímos a por  e b por :

Percebeu agora?

Observe que originalmente tínhamos a expressão  que multiplicamos por , perceba que invertemos o sinal, trocamos "+" por "-", se tivéssemos "-", o teríamos trocado por "+".

Como elevamos  e  ao quadrado, eliminamos assim os radicais.

Como nos casos anteriores, devemos multiplicar ambos os termos da fração pelo fator racionalizante, que neste exemplo é :

Neste último caso o fator racionalizante de um denominador  será  e vice-versa.

Exemplos

Neste último exemplo decompomos tanto 18 em 2 ^_. 3², quanto 12 em 2^2 _. 3 (decomposição de fatores primos), que você pode revisar se for o caso. 

Prof. Fábio Luiz