Revisão dos 3 EM - Poliedros (Fevereiro de 2012)

Poliedros Convexos

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Tetraedro	Hexaedro (cubo)	Octaedro

Características dos Poliedros Convexos

Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.

Característica do poliedro convexo	Medida da característica
Relação de Euler	V + F = A + 2
Número m de ângulos diedrais	m = 2 A
Ângulo diedral
Raio do círculo inscrito
Raio do círculo circunscrito
Área da superfície externa
Volume do sólido poliédrico

Relação de Euler em Poliedros Regulares

As relações de Euler são duas importantes relações entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas e o número m de ângulos entre as arestas.

F + V = A + 2 isto implica que V - A + F = 2,      m = 2 A

Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.

Poliedro regular convexo	Cada face é um	Faces (F)	Vértices (V)	Arestas (A)	Ângulos entre as arestas (m)
Tetraedro	triângulo equilátero	4	4	6	12
Hexaedro	quadrado	6	8	12	24
Octaedro	triângulo equilátero	8	6	12	24
Dodecaedro	pentágono regular	12	20	30	60
Isocaedro	triângulo equilátero	20	12	30	60

Raios de Círculos e Ângulo diedral

Poliedro regular	Raio do círculo inscrito (r)	Raio do círculo circunscrito (R)	Ângulo diedral (d)
Tetraedro	(a/12) R[6]	(a/4) R[6]	70o31'44"
Hexaedro	a/2	(a/2) R[3]	90o00'00"
Octaedro	(a/6) R[6]	(a/2) R[2]	109o28'16"
Dodecaedro	(a/100)R{50+22R[5]}	(a/4)(R[3]+R[15])	116o33'54"
Icosaedro	(a/2)R{(7+R[45])/6}	(a/4) R{10+R[20]}	138o11'23"
Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

Áreas e Volumes

Poliedro regular	Área	Volume
Tetraedro	a2 R[3]	(1/12) a³ R[2]
Hexaedro	6 a2	a³
Octaedro	2 a2 R[3]	(1/3) a³ R[2]
Dodecaedro	3a2 R{25+10·R[5]}	(1/4) a³ (15+7·R[5])
Icosaedro	5a2 R[3]	(5/12) a³ (3+R[5])
Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

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Prof. Fábio Luiz